📚 讲义附录

讲义附录 A 记号表与附录 B 核心公式速查表，公式由 KaTeX 渲染。

附录 A · 记号表（23 条）

$R, N, Z, Q, C$ 实数集、正整数集、整数集、有理数集、复数集
$(a, b), [a, b], (a, b], [a, b)$ 开区间、闭区间、半开区间
$U (x_{0}, δ)$ 点 $x_{0}$ 的 $δ$ -邻域 ${x : ∣ x - x_{0} ∣ < δ}$
$U ˚ (x_{0}, δ)$ 点 $x_{0}$ 的去心 $δ$ -邻域
$sup S, in f S$ 集合 $S$ 的上确界、下确界
$lim_{n \to \infty} a_{n}$ 数列 ${a_{n}}$ 的极限
$lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 函数在 $x_{0}$ 处的极限
$lim sup_{n \to \infty} a_{n}, lim inf_{n \to \infty} a_{n}$ 上极限、下极限
$f^{'} (x_{0}), \frac{d y}{d x}$ 导数、微商
$d f, d x$ 微分、自变量微分
$\int_{a}^{b} f (x) d x$ 定积分
$\iint_{D} f (x, y) d x d y$ 二重积分（区域 $D$ ）
$∭_{V} f (x, y, z) d V$ 三重积分（区域 $V$ ）
$\oint_{C}, \int_{C}$ 沿闭曲线、曲线的（第一/第二类）积分
$\frac{\partial f}{\partial x}, \partial_{x} f$ 偏导数
$\nabla f$ 梯度
$a, ∥ a ∥$ 向量及其范数
$n$ 单位法向量
$f_{n} ⇉ f$ 函数列一致收敛于 $f$
$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 数项级数
$a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$ 傅里叶级数
$o (1), O (1)$ 高阶小量、有界量
$α (x) = o (β (x))$ $α$ 是 $β$ 的高阶无穷小

附录 B · 核心公式速查表

B.1 两个重要极限
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1, n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e, x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e .$
B.2 常用等价无穷小（ $x \to 0$ 时）
$sin x \sim x, ln (1 + x) \sim x, tan x \sim x, e^{x} - 1 \sim x, arcsin x \sim x, a^{x} - 1 \sim x ln a, arctan x \sim x, 1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}, \[2 pt] (1 + x)^{α} - 1 \sim α x, tan x - sin x \sim \frac{x ^{3}}{2}, ∣ x ∣ 可直接放缩$
B.3 基本导数公式
$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}, (cot x)^{'} = - csc^{2} x, (ln x)^{'} = \frac{1}{x}, (sin x)^{'} = cos x, (sec x)^{'} = sec x tan x, (e^{x})^{'} = e^{x}, (cos x)^{'} = - sin x, (arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}, (a^{x})^{'} = a^{x} ln a, (tan x)^{'} = sec^{2} x, (arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}, (lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a} .$
B.4 基本积分公式
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq = - 1), \int sin x d x = - cos x + C, \int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan x + C, \int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C, \int cos x d x = sin x + C, \int \frac{d x}{1 - x ^{2}} = arcsin x + C, \int e^{x} d x = e^{x} + C, \int sec^{2} x d x = tan x + C, \int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C .$
B.5 常用泰勒展开式
$e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}, cos x = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}, \frac{1}{1 - x} = n = 0 \sum \infty x^{n} (∣ x ∣ < 1), sin x = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}, ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n} (- 1 < x \leq 1), (1 + x)^{α} = n = 0 \sum \infty (n α) x^{n} (∣ x ∣ < 1) .$
B.6 敛散判别速记
正项级数：比较、比式 $ρ = lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ 、根式 $ρ = lim n a_{n}$ （ $ρ < 1$ 收敛， $ρ > 1$ 发散）、拉贝、积分判别。一般项级数：莱布尼茨（交错、单调趋于 0）、狄利克雷（部分和有界 $\times$ 单调趋于 0）、阿贝尔（收敛 $\times$ 单调有界）。一致收敛：魏尔斯特拉斯 $M$ -判别（优超）、狄利克雷、阿贝尔；幂级数收敛半径 $R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = \frac{1}{n \to \infty lim sup n ∣ a _{n} ∣}$ . 反常积分： $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{p}}$ 收敛 $\Leftrightarrow p > 1$ ； $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}}$ （在 $0$ 处为瑕点）收敛 $\Leftrightarrow p < 1$ 。
B.7 三大积分公式
格林公式（平面单连通区域 $D$ ，边界 $L$ 取正向）： $\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y .$ 高斯公式（空间区域 $V$ ，边界曲面 $S$ 取外侧）： $\iint_{S} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭_{V} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d V .$ 斯托克斯公式（定向曲面 $Σ$ 与有向边界曲线 $Γ$ 服从右手法则）： $\oint_{Γ} P d x + Q d y + R d z = \iint_{Σ} d y d z \frac{\partial}{\partial x} P d z d x \frac{\partial}{\partial y} Q d x d y \frac{\partial}{\partial z} R .$
B.8 傅里叶系数与帕塞瓦尔等式
以 $2 π$ 为周期的 $f$ ： $a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x, b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x (n = 1, 2, \dots)$ 。在间断点 $x_{0}$ 处傅里叶级数收敛于 $\frac{f ( x _{0}^{+} ) + f ( x _{0}^{-} )}{2}$ ；帕塞瓦尔等式： $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f^{2} (x) d x = \frac{a _{0}^{2}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$ 。

📚 讲义附录

附录 A · 记号表（23 条）

附录 B · 核心公式速查表

B.1 两个重要极限

B.2 常用等价无穷小（x→0 时）

B.3 基本导数公式

B.4 基本积分公式

B.5 常用泰勒展开式

B.6 敛散判别速记

B.7 三大积分公式

B.8 傅里叶系数与帕塞瓦尔等式

B.2 常用等价无穷小（ $x \to 0$ 时）